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Diskrete Elemente

Diskrete-Elemente-Methode (DEM)

Kurzdarstellung der Diskrete-Elemente-Methode und neuster Stand der Forschung

Numerische Methoden dienen der näherungsweisen Lösung von Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssystemen. Dabei ist die Diskrete-Elemente-Methode (DEM), neben der Finite-Differenzen-Methode (FDM), mit einer der ältesten numerischen Methoden. Heutzutage ist die DEM jedoch durch den enormen Einsatzgrad der Finite-Elemente-Methode (FEM) in Vergessenheit geraten, obwohl die DEM 88 Jahre älter ist als die FEM. Dennoch wird die DEM stetig weiterentwickelt, um z.B. Gebiete zu erschließen, welche unzureichend mit der FEM beschrieben werden können. Zu den Gebieten in denen die DEM hervorsticht zählt die Risssimulation, seit neustem die numerische Lebensdauerabschätzung und die Simulation loser Partikel.

Das neu erschlossene Gebiet der numerischen Lebensdauerabschätzung von Strukturen stellt das aktuelle Forschungsgebiet des Instituts für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrt-konstruktionen (ISD) dar, bei dem zum ersten Mal Wöhlerkurven mittels numerischer Simulation (nämlich der DEM) rekonstruiert werden konnten.

Geschichtliche Entwicklung und Gegenüberstellung der unter-schiedlichen Betrachtungsweisen

In der heute verfügbaren Literatur wird die DEM nicht ohne Grund in zwei theoretische Modelle unterteilt, da zwei unterschiedliche physikalische Probleme auf numerischem Wege untersucht werden. Das erste numerische Modell dient der molekulardynamischen Simulation von Partikeln und das zweite Modell ist ein Stabgitterverfahren, welches unter anderem zur Riss- oder Lebensdauer-untersuchung von Werkstoffen eingesetzt wird. Auf den ersten Blick scheint das Partikel- und Stabmodel keine offensichtlichen Gemeinsamkeiten zu besitzen, jedoch offenbaren sich bei einer detaillierteren Prüfung der Thematik die gemeinsamen Wurzeln.

1. Molekulardynamische Betrachtung

Die Mehrheit der heute veröffentlichten Literatur assoziiert die DEM mit einer Partikel-Simulation. Bei einer solchen Partikel-Simulationen wird durch numerische Algorithmen das Verhalten der Partikel untereinander und mit den Rändern (z.B. mittels Stoß) berechnet. Eine gegenseitige Durchdringung der Körper und ein Eindringen der Körper in den Rand werden dabei mittels sogenannter Straffunktionen verhindert. Diese Betrachtung geht auf der Arbeit von CUNDALL aus dem Jahre 1971 zurück [1], siehe auch Abbildung 1.

2. Stabgittermodell

Neben der oben erläuterten molekulardynamischen Betrachtungsweise von CUNDALL [1] wird die DEM zur numerischen Simulation von bruchmechanischen Aspekten, wie z.B. Rissfortschritt und Lebensdauer eingesetzt. Hierbei wird ein Stabgitter aufgebaut, welches die zu untersuchende Struktur repräsentiert. Die Stäbe beinhalten die mechanischen Eigenschaften des Materials und können bei Erreichen der lokalen Belastungsgrenze versagen und so die Bildung eines Risses hervorrufen.

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Abbildung 1: Schüttvorgang loser Partikel mit der Molekulardynamik berechnet

Nach dieser kurzen Beschreibung scheint zwischen dem molekulardynamischen- und dem Stabgitter-Modell kein offensichtlicher Zusammenhang zu bestehen, jedoch wird auf den nächsten Seiten gezeigt, dass die Betrachtungsweise von CUNDALL in der Stabgittermethode integriert ist.

Bei der Stabgittermethode können freie massenbehaftete Partikel mittels massenlosen Federn gekoppelt bzw. miteinander verbunden werden. Zur Kopplung der losen Massenpunkte können entweder Stäbe oder Balken verwendet werden. Bei einer mechanischen Belastung von außen werden die massenlosen Federn gedehnt und brechen ab einer fest vorgegebenen Bruchdehnung, sodass diskrete Risse entstehen. Der Ursprung dieser Betrachtungsweise geht auf eine Idee von KIRSCH aus dem Jahre 1868 zurück [2]. Zwei dieser Gitterstrukturen von KIRSCH [2] sind in Abbildung 2 dargestellt.

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Abbildung 2: Verbindung zwischen den Atomen oder Molekülen mittels Stäben nach [2]

Im Anschluss an die Veröffentlichung von KIRSCH haben KLEIN und WIEGHARDT im Jahre 1905/1906 eine ergänzende bzw. die wesentliche Grundlage für die Stabgittermethode geschaffen [3]–[5]. WIEGHARDT untersuchte in seiner Veröffentlichung zwei Gitterstrukturen, das Hexagonale- und das Rechteck-Gitter (siehe Abbildung 3). Die Intention von WIEGHARDT war die Untersuchung von statisch unbestimmten Fachwerkstrukturen, welche ursprünglich Brückenkonstruktionen entstammten. Die Idee zur Benutzung von Fachwerken zur mechanischen Untersuchung von Strukturen begann mit den Arbeiten von KLEIN und WIEGHARDT [3], [4]. WIEGHARDT [5] versuchte mittels analytischer Lösungen aus der Kontinuumsmechanik die Steifigkeit und Festigkeit der Fachwerkstruktur zu erschließen. Der nun wesentliche Aspekt, dass Gitterstrukturen sich auch dazu eignen kontinuierliche Tragwerke auf ihr mechanisches Verhalten hin zu untersuchen, wurde erst im Jahre 1927 von RIEDEL [6] auf eine Anregung von PRANDTL und NÁDAI in Augenschein genommen [6]. Die Abbildung 3 zeigt eine solche Untersuchung einer von zwei Seiten fest eingespannten Struktur.

Im Jahre 1940 schloss HRENNIKOFF seine PhD Thesis auf dem Fachgebiet der Gitterroststrukturen ab [7]. Aus dieser PhD Thesis fertigte HRENNIKOFF dann im folgenden Jahr eine Veröffentlichung an [8], welche eine der am meisten zitierten Veröffentlichungen ist, jedoch ironischerweise nicht im Gebiet der DEM, sondern im Fachgebiet der Finite-Elemente-Methode (FEM). Neben den von WIEGHARDT [5] vorgestellten Gitterzellen (der hexagonalen Zelle und der einfachen Viereckzelle) wurden noch weitere Zelltypen vorgeschlagen und auf ihre Anwendung bei Scheiben im ebenen Spannungszustand hin untersucht [7], [8], wie es auch in Abbildung 3 dargestellt ist. In der Folge wurden 1943 von McHENRY [9] und 1944 von LIE [10] weitere detaillierte Lösungen zu speziellen mechanischen Problemen vorgestellt, wobei LIE [10] zum ersten Mal Balkenelemente zur Untersuchung von Plattenstrukturen verwendete, siehe Abbildung 4.

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Abbildung 3: Geschichtlicher Werdegang der Gitterrostmodelle nach [3]–[6], [8]

In den folgenden Jahren kam die Gitterrostmethode kaum noch zum Einsatz, da 1956 die FEM zum ersten Mal am konkreten Beispiel einer gepfeilten Flügelstruktur vorgestellt wurde [11]. Die FEM hatte für die damalige Zeit mehrere Vorzüge. Einer der Vorteile war, dass sie 3D Strukturen analysieren konnte, wohingegen die Anwendung der DEM bisher auf 2D Strukturen beschränkt war. Ein anderer Vorzug war, dass die FEM Tragwerke mit beliebiger Berandung analysieren konnte, wohingegen die Stabgittermethode sich nur auf simpel aufgebaute Strukturen anwenden ließ. Erst 1963/1964 stellte SPIERIG erweiterte Stabmodelle vor, um Platten und gekrümmte Schalen mit beliebiger Berandung nach dem Baukastenprinzip modellieren zu können [12], [13], siehe unterer Teil in Abbildung 4.

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Abbildung 4: Fortführung des geschichtlichen Werdegangs der Gitterrostmodelle nach [9], [10], [12], [13]

Die Rückkehr der DEM wurde erst 1971 durch THOMSON mit dem Bedarf der numerischen Untersuchung von Rissinstabilitäten eingeleitet [14]. THOMSON implementierte Federn zwischen finiten Elementen, wodurch zum einen das Gebiet während des Rissfortschritts nicht neu vernetzt werden muss. Zum anderen konnten sich mit der Erweiterung nach THOMSON [14] Risse auf „natürliche“ Weise im Gebiet bilden, weiter wachsen, absterben und zusammen wachsen. Hingegen war die FEM zu der damaligen Zeit noch vollständig auf einen Anriss bzw. eine Vorschädigung angewiesen. Erst im Jahre 1996/1997 konnten die sich einstellenden Probleme bei der FEM, durch die Pionierarbeiten von BELYTSCHKO und FLEMING mit der Einführung der eXtended-Finite-Element-Method (XFEM), überwunden werden [15], [16].

Diverse numerische Untersuchungen aus den letzten Jahrzehnten hinsichtlich der Rissdynamik zeigen, sowohl mit der FEM als auch mit der DEM, dass der Werkstoff in numerischen Simulationen nicht als ein homogener Werkstoff betrachtet werden darf. Vielmehr muss eine Inhomogenität vorausgesetzt werden, um die Realität besser abbilden zu können. Der Grund für ein inhomogenes Netz ist auf der mesoskopischen Skala des realen Werkstoffs zu finden. Auf dieser Anschauungsebene besitzt der Werkstoff viele individuell ausgerichtete Körner und Korngrenzen, was insgesamt zu einer gebietsweisen Variation der Materialeigenschaften führt. Die Nachbildung dieser Inhomogenität kann bei er DEM durch die Einführung eines Netzes mit strukturierter Unordnung bewerkstelligt werden [17], [18], siehe Abbildung 5.

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Abbildung 5: Mit Einführung einer strukturierten Unordnung lässt sich ein inhomogener Werkstoff modellieren [17], [18]

Viele nachfolgende Publikationen auf dem Gebiet der Gitterrostmethode zeigten, dass die Methode sich besser zur Risssimulation eignet als die FEM. Am Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen (ISD) der Universität Stuttgart wurden zuletzt Fortschritte auf dem Gebiet der numerischen Simulation mit der DEM erzielt. Angefangen mit der Arbeit von WITTEL [17] im Jahre 2006, in welcher die Festigkeit von Verbundwerkstoffen mittels eines stochastisch ausgerichteten Gittermodells erforscht wurde. Eine weitere Arbeit wurde 2007 von BALLHAUSE [19] am ISD zur „diskreten Modellierung des Verformungs- und Versagensverhaltens von Gewebemembranen“ abgeschlossen. In einer weiteren Arbeit aus dem Jahre 2012 von HAHN [20] wurde gezeigt, dass ein Zusammenhang zwischen diskreten Partikeln - den Hexagonen - und der Gitterrostmethode besteht. Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 6 und Abbildung 7 bildlich wiedergegeben. Ferner konnte gezeigt werden, dass durch die DEM ein Zusammenhang zwischen den „Säulen der Numerik“, also der Finite-Elemente-Methode, der Finite-Differenzen-Methode und der Finite-Volumen-Methode besteht [20]. In dem hier präsentierten Fall (Abbildung 6 und Abbildung 7) wird das zu untersuchende Gebiet mittels Hexagonen diskretisiert. Zur Findung des Gleich-gewichts, welches für die Gültigkeit der Methode gebraucht wird, kann eine Flussbilanzierung über die Ränder der hexagonalen finite Elemente vorgenommen werden [20], wie es in Abbildung 6 mit kleinen Pfeilen angedeutet wird.

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Abbildung 6: Links: Ein mit Hexagonen diskretisiertes Gebiet. Rechts: Flüsse entlang der Ränder von einem Teilgebiet in das benachbarte Teilgebiet

An dieser Stelle kann die Brücke zum Stabgitterverfahren geschlagen werden. Die Flüsse entlang der Gebietsgrenzen der Hexagone können ebenfalls mittels Stäben übertragen werden. Somit sind nun die Stäbe der „Träger der physikalischen Feldgröße“, wobei die Masse der diskreten Elemente den Knotenpunkten zugeordnet wird. Bei einer mechanischen Belastung des Gebietes – also der Gitterstruktur – kommt es bei einem Netz mit stochastisch geschwächten Stäben an diskreten Stellen zur Rissbildung, bei der sich Elemente von der Struktur trennen können und im Weiteren als lose Partikel anzusehen sind. Diese losen Partikel tragen dann nicht mehr zur Steifigkeit des Tragwerks bei, sondern interagieren mit der restlichen Teilstruktur oder mit der Umgebung. Nach Vergleich des Stabgittermodells und des Diskrete-Elemente-Modells ist leicht ersichtlich, dass beide Modelle in sich äquivalent sind, siehe Abbildung 7.

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Abbildung 7: Gegenüberstellung des Stabgittermodells und dem Diskrete-Elemente-Modell. Es ist leicht ersichtlich, dass beide Modelle in sich äquivalent sind

Quellen

[1]          P. A. Cundall, “A computer model for simulating progressive large scale movements in blocky rock systems", Proceedings Symposium Int. Soc. Rock Mech., Nancy Metz, vol. 1, p. Paper II–8, 1971.

[2]          E. G. Kirsch, “Die Fundamentalgleichungen der Theorie der Elastizität fester Körper, hergeleitet aus der Betrachtung eines Systems von Punkten, welche durch elastische Streben verbunden sind , Band 7 (1868), Heft 8,” Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, vol. 7, no. 8, pp. 481–487, 553–570, 631–638, 1868.

[3]          F. Klein and K. Wieghardt, “Über Spannungsflächen und reziproke Diagramme, mit besonderer Berücksichtigung der Maxwellschen Arbeiten,” Archiv der Mathematik und Physik, vol. 3 Reihe, 7, pp. 1–10, 1905.

[4]          F. Klein and K. Wieghardt, “Über Spannungsflächen und reziproke Diagramme, mit besonderer Berücksichtigung der Maxwellschen Arbeiten,” Archiv der Mathematik und Physik, vol. 3 Reihe, 8, pp. 95–119, 1905.

[5]          K. Wieghardt, “Über einen Grenzübergang der Elastizitätslehre und seine Anwendung auf die Statik hochgradig statisch unbestimmter Fachwerke,” Verhandlungen des Vereins zur Beförderung des Gewerbefleisses, vol. 85, pp. 139–176, 1906.

[6]          W. Riedel, “Beiträge zur Lösung des ebenen Problems eines elastischen Körpers mittels der Airyschen Spannungsfunktion,” Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 7, no. 3, pp. 169–188, 1927.

[7]          A. P. Hrennikoff, “Plane stress and bending of plates by method of articulated framework,” MIT, Boston, Massachusetts, 1940.

[8]          A. P. Hrennikoff, “Solution of problems of elasticity by the framework method,” Journal of Applied Mechanics, vol. 8, pp. 169–175, 1941.

[9]          D. McHenry, “A lattice analogy for the solution of stress problems,” Journal of the Institution of Civil Engineers, vol. 21, pp. 59–82, 1943.

[10]        K. H. Lie, “Berechnung der Fachwerke und ihrer verwandten Systeme auf neuem Wege,” Der Stahlbau, vol. 8/9 and 10/11, pp. 35–40 and 41–50, 1944.

[11]        M. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, and L. J. Topp, “Stiffness and deflection analysis of complex structures,” Journal of the aeronautical sciences / Institute of the Aeronautical Sciences, NewYork, vol. 23, pp. 805–823, 1956.

[12]        S. Spierig, “Beitrag zur Lösung von Scheiben-, Platten-, und Schalenproblemen mit Hilfe von Gitterrostmodellen.” Dissertation Hannover, 1963.

[13]        S. Spierig, “Beitrag zur Lösung von Scheiben-, Platten- und Schalenproblemen mit Hilfe von Gittermodellen,” Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaften Gesellschaft, vol. V, pp. 133–165, 1964.

[14]        Thomson, R,; Hsieh, C.; Rana, V., “Lattice trapping of fracture cracks,” Journal of applied physics, vol. 42, pp. 3154–3160, 1971.

[15]        F. Fleming, Y. Chu, B. Moran, and T. Belytschko, “Enriched element-free Galerkin methods for crack tip fields,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 40(8), pp. 1483–1504, 1997.

[16]        T. Belytschko, Y. Krongauz, D. Organ, M. Fleming, and P. Krysl, “Meshless methods: An overview and recent developments,” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 139, pp. 3–47, 1996.

[17]        F. K. Wittel, “Diskrete Elemente - Modelle zur Bestimmung der Festigkeitsevolution in Verbundwerkstoffen,” Universität Stuttgart, Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik und Geodäsie, Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen, 2006.

[18]        M. Hahn, M. Bouriga, B.-H. Kröplin, and T. Wallmersperger, “Life time prediction of metallic materials with the Discrete-Element-Method,” Computational Materials Science, vol. 71, no. 0, pp. 146 – 156, 2013.

[19]        D. Ballhause, “Diskrete Modellierung des Verformungs- und Versagensverhaltens von Gewebemembranen,” Universität Stuttgart, Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik und Geodäsie, Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen, 2007.

[20]        M. Hahn, “Lebensdauerabschätzung von metallischen Strukturen mittels der Diskrete-Elemente-Methode im gekoppelten thermo-mechanischen Feld,” Universität Stuttgart, Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik und Geodäsie, Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen, 2012.